数学角度看深度学习

从数学的角度来看，这段代码展示了神经网络训练的基本流程，包括前向传播、损失计算、反向传播和参数更新。我们可以通过梯度下降的方法来最小化损失函数。

数学解析

1. 定义和初始化

• net 是一个神经网络模型，设模型参数为 (\theta)，包括权重和偏置。

• loss 是损失函数，定义为 ( L(\hat{y}, y) )，它衡量模型输出

  $$\hat{y} = \text{net}(X; \theta)$$

  和真实标签 ( y ) 的误差。

• num_epochs = 3 表示我们将训练模型 3 个轮次。

2. 训练循环

在训练过程中，每一个 epoch 都会经历以下步骤：

3. 小批量训练

代码中 for X, y in data_iter 遍历每个小批量的输入数据 (X) 和标签 (y)：

1. 前向传播：对于每个小批量 ( X ) 和标签 ( y )：

   • 模型通过前向传播计算预测输出：

     $$\hat{y} = \text{net}(X; \theta)$$

   • 这里的 net(X) 代表了从输入到输出的所有计算，这通常包括线性变换、非线性激活函数等。

2. 损失计算：计算当前小批量数据的损失 ( l )：

   $$l = L(\hat{y}, y)$$

   其中，

   $$\hat{y} = \text{net}(X)$$

   常见的损失函数有均方误差（MSE）和交叉熵（Cross Entropy）等，具体取决于任务的类型（回归或分类）。

3. 梯度清零：trainer.zero_grad()

• 为了避免梯度的累积，清除上一批次计算出的梯度。

1. 反向传播：计算损失 ( l ) 对模型参数 (\theta) 的梯度： $$\nabla_\theta l = \frac{\partial L(\hat{y}, y)}{\partial \theta}$$

• 通过 l.backward() 调用链式法则，将损失的梯度从输出层逐层传递到每一层的参数（即计算各层参数的偏导数）。

1. 参数更新：利用梯度下降算法更新参数： $$\theta := \theta - \alpha \nabla_\theta l$$ 其中 (\alpha) 是学习率，控制每次更新的步长大小。

4. 整体损失评估

在每个 epoch 结束时，代码再次计算模型在整个数据集上的损失：

$$L_{\text{total}} = L(\text{net}(\text{features}), \text{labels})$$

这样可以监测每个 epoch 后的损失，判断训练的进展。

总结

从数学角度看，这段代码实现了一个典型的 梯度下降优化过程，通过前向传播计算损失，然后通过反向传播计算梯度，再利用梯度下降更新参数。最终，损失逐渐减小，模型在数据上的性能逐步提升。